https://www.webrtc-experiment.com/RecordRTC/

Este ejemplo funciona bien, pero la pregunta es: ¿puedo evitar que se muestre esa ventana fea que pide elegir una ventana para compartir (o una pantalla completa), en lugar de obtener una lista de ventanas y elegirla mediante programación?

Sí !

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chromium --auto-select-desktop-capture-source=Entire screen --url <url to start the stream>